Иосиф Аронович Крывелёв родился в 1906 году в Москве.

Окончил Московский историко-философский институт в 1934 году. С 1932  года работал преподавателем философии. В 1934—1936 годах был научным сотрудником в Центральном совете Союза воинствующих  безбожников, в 1936—1939 годах — в Центральном антирелигиозном музее, в 1939—1941 и в 1947—1949 годах — в Институте философии АН СССР (в годы Великой Отечественной войны — на фронте).

В период кампании по борьбе с космополитизмом отстранён от работы, с 1959 года и до конца жизни — в Институте этнографии АН СССР.